18世纪后半叶到20世纪初是数学史上的超英雄时代，此时的欧洲以法国为代表出现了大批的顶级数学家。我们来看看这些熟悉的名字：柯西（Cauchy，1789-1857），拉格朗日（Lagrange，1736~1813），拉普拉斯（Laplace,1749－1827)），蒙日（ Monge，1746～1818），泊松（ Poisson ，1781～1840）），傅里叶（Fourier，1768-1830），这些数学家都为法国的政治和科学做了巨大贡献。如果把德国的高斯（Gauss，1777-1855）除外，可以说当时的法国聚集了世界上最天才的数学家。

在这样一个天才频出的时代，纵然也是天才，但只要你不能站到塔尖，都不会引起足够的重视。上面列举这些著名的数学家中，不知道你有没有发现遗漏了一个人，他就是在天体力学、数论和椭圆函数等方面有卓越贡献的数学家勒让德（Legendre，1752- 1833）。

1820年法国数学家博伊（Boilly）创作的勒让德（左）和傅里叶（右）的水彩漫画

勒让德与拉普拉斯、拉格朗日一起被誉为“3L”组合，他们都为法国数学的复兴做出重要贡献，并曾担任众多的官方职务。但是在这个组合当中，出道最晚、影响力最小的就是我们的这位勒让德。同时，除了在法国，我们的勒让德先生还经常受到身在德国比自己小25的小高斯的“欺负”。究其原因，强中自有强中手，天才数学家勒让德遇到了更强大的天才“对手”，他的工作具有开创性和启发性，但比起高斯还不够精致，因此，任命记住了高斯，只是偶尔提起勒让德。但是，勒让德的贡献已足以惊动世界，如果换成另一个时代，勒让德注定会变得更伟大。

1752年9月18日，勒让德出生于一个富裕家庭，从小就接受到良好的教育。大学时期师从著名数学家阿贝(Abbè)，并在18岁（1770）时在马萨林学院（Collège Mazarin）通过了论文答辩。但是毕业后的勒让德并没有急于去找工作，而是呆在巴黎，继续痴迷于自己的科学研究。看似啃老的勒让德，没工作不代表不工作。不到5年时间，勒让德的工作就吸引了达朗贝尔（d'Alembert，1717-1783），并在其的安排下到军事学校（ école Militaire ）教授数学。

年轻勒让德的科学探索之路正式启航，1782年他参加了柏林科学院（The Berlin Academy of Science）举办的一次竞赛活动，活动内容为：Determine the curve described by cannonballs and bombs, taking into consideration the resistance of the air; give rules for obtaining the ranges corresponding to different initial velocities and to different angles of projection。这是一个与战争有关的实际问题，勒让德的参赛论文“Recherches sur la trajectoire des projectiles dans les milieux résistants”获得了头筹。

这篇论文引起了当时的柏林科学院数学系主任拉格朗日的注意，拉格朗日写信给副院士拉普拉斯要求了解勒让德更多的情况。从达朗贝尔、拉普拉斯到拉格朗日，勒让德凭借自身实力成功的吸引了法国当时最著名的3个数学家的注意。

一回生两回熟，在数学界混了个脸熟以后，勒让德要做的事情就是再接再励，再创辉煌了。1783年1月，勒让德将其一篇关于椭球的论文交予法国科学院，在前期建立的良好印象基础上，勒让德的这篇论文又一次获得了拉普拉斯的高度赞扬，这次法国科学院给了他一个大大的惊喜——1783年3月30日，勒让德雷被任命为科学院的助理院士。

有了一份令人羡慕的工作后，勒让德又继续埋头苦干。涉及的领域包括：天体力学、数论、椭圆函数、统计学等。

一、天体力学

1784年，勒让德在Laplace方程的基础上，经过球函数方程再变换得到了著名的勒让德函数：

验证举例（n=2的勒让德多项式，是勒让德函数的解）:

由于天体运行和大地测量是当时的流行问题，而在使用球坐标求解数学物理方程时，经常会用到勒让德多项式，因此，即使在今天，勒让德多项式在物理和工程中都具有较重要的位置。

二、数论

勒让德关于数论研究的兴趣来源于欧拉和拉格朗日的工作，并且作为高斯数论研究的先行者，又往往被高斯超越。这既是幸运，又是不幸。1798年，勒让德关于数论研究的书籍《数论讲义》在巴黎发行，本书试图将欧拉、拉格朗日的重要发现，以及他自己关于数论的研究尽收囊内。勒让德关于数论研究的第一个亮点是对方程ax^2+by^2+cz^2=0的拉格朗日解的补充和推广。

在接下来的章节里，勒让德利用该定理“证明？”了著名的“二次互反律”：

这样一个定理最早由欧拉和勒让德提出。勒让德在文中给出了证明，但很快就被高斯找到了漏洞，并否定了。尽管如此，人们还是将(p/q)称为勒让德符号。它的意义是：

“二次互反律”揭示了模和剩余互换位置后的重要关系，是解决很多数论问题强有力的工具。高斯将“二次互反律”誉为算术理论中的宝石，自1796年高斯给出这个定理的第一个证明以后，他一生中热爱于给出不同的证明，并累计给出了至少7种不同证法。但是这对于勒让德不是一件好事，高斯给出证明的时间让勒让德很受伤，而且自己也无力反驳被高斯指出的证明中的漏洞。更致命的是，随着高斯经典巨著《算术探究》在1801年的出版，勒让德的《数论讲义》被取代，甚至其他的数论著作也被遗忘了。

这是勒让德在数论上最受伤的一次，他被一个后生超越了，但是他自己也是心服口服，毕竟这不是一般的后生，在后面的著作中，勒让德引用了高斯的一个证明，这也算是一种对高斯的肯定，甚至是妥协。

这样来自高斯的致命打击勒让德还会经历几次。这也就包括数理统计经典方法：最小二乘法。

三、 数理统计

为了减少物理测量中遇到的误差问题，勒让德创造性的引入了“最小二乘法”：

在实际问题中，一个数据受到多个因素的制约，因此可以根据数据得到多个下面这样的方程：

E=a+bx+cy+...(其中，a,b,c为已知数，x,y为未知数)

这里的E指的误差。根据方程组知识，如果这样的（含有n个未知数的）方程恰好有n个，则E为0，没有误差。但是如果这样的方程多于n个，那么误差E必然存在。那如何使得误差最小呢？勒让德的做法是让所有方程的误差平方和最小。

即,使得下面的z最小：

勒让德使用的求和符号与现在不同，他的符号是现在通用的积分符号∫。

“最小二乘法”最早由勒让德发表于1805年的论文中，但是这次小高斯又出来让勒让德“受伤了”。高斯发文说他早在1795年就发现了这个方法，并在1801年结合此方法计算出了谷神星的运动轨迹。勒让德这一次真有些生气了，怎么什么都是你先发现的？还有完没完了。两人为了优先权争论了好几年。

撇开优先权不论，高斯的确比勒让德走得远得多。勒让德说，误差的平方和最小是合理的，但为什么会合理？或者什么时候是合理的？勒让德并没有说明白。但高斯做到了，高斯第一次的将最小二乘法与概率论结合在一起，并由此开发出一个新工具——“正态分布”。在这一次争论中，勒让德也没有占到上风。

四、椭圆积分

椭圆积分是19世纪分析学的重要课题，勒让德在椭圆积分上做了很多的重要工作。在著作《椭圆函数论》中，勒让德提出三类基本椭圆积分，证明每个椭圆积分可以表示为这三类积分的组合，并编制了详尽的椭圆积分数值表，还引用若干新符号，使他成为椭圆积分理论的奠基人之一。但其洞察力并没有达到雅可比（Jacobi，1804 - 1851）和阿贝尔（Abel，1802 - 1829）的高度。也有一些被后生秒杀的感觉。

勒让德的这些卓越贡献让他在18-19世纪的数学领域占有一席之地。但是这样一个天才聚集的时代，他的光辉被其他更厉害的天才（尤其是高斯和拉普拉斯）遮挡了。以至于在公认的最权威的数学史著作《数学大师》中，E.T贝尔专门为拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、傅里叶、高斯、柯西等同时代数学家列了传记，而没有勒让德，但这并不妨碍勒让德的伟大。

古斯塔夫·埃菲尔（1832-1923）在建造法国地标：巴黎（埃菲尔）铁塔时，勒让德和这些对法国有巨大贡献的科学家们，都被永远的刻在牌匾上。

最后，我们以泊松的一句话结束本文。

Our colleague has often expressed the desire that, in speaking of him, it would only be the matter of his works, which are, in fact, his entire life. （ Poisson）

参考文献：

1. 普林斯顿数学指南.Timothy Gowers主编.齐民友译.科学出版社.2016.1

2. 数论：从汉穆拉比到勒让德.韦伊著.胥鸣伟译.高等教育出版社.2010.4

编辑：张子杰

责任编辑：李伶

声明：转载此文是出于传递更多信息之目的。若有来源标注错误或侵犯了您的合法权益，请作者持权属证明与本网联系，我们将及时更正、删除，谢谢。