人类被冠以“万物之灵”，古往今来创造了璀璨的智慧文明。在漫长的文明长河中，数学更是无处不在，无所不能－－无论是神圣的帕特农神庙，还是不久前登上太空的神舟十一号，都离不开数学在其中所发挥的巧妙作用。谈及数学家，我们大多心生崇敬。事实上，在人生的最初，身为常人的我们与数学家们并没有很大的不同。

    再伟大的数学家也得从咿呀学语的婴儿学起，数数是所有人的起点。

    学会数字并不那么简单

    在日常生活中，数数似乎是稀松平常的小事。但对儿童而言，从拥有估算能力、记住数字单词到形成两者间的联系是一个缓慢的过程。换而言之，学会数字并不那么简单。

    数字概念的习得并非一蹴而就。教育、文化与认知的生理基础缺一不可。

    已有的研究总结出儿童至少拥有两个数字表征系统：非语言、依赖于直觉的近似数字系统　(ANS)；使用语言和符号来计数和表征的精确数字表征(exact number representation)　系统。

    ANS并非人类独享。科学家在非人类动物例如鱼类、啮齿类动物、鲸鱼、海豚和非人类灵长类动物上也陆续发现了ANS的存在。它从我们的祖先那儿进化而来，不依赖于语言或其它外部符号。ANS是支持个体对数量信息进行表征和加工的系统，对于估算能力有重要的作用。然而，它的表征具有不精确而充满噪音的特点，且误差会随着数量的增加而增加，例如：对10个物体的表征噪音要大于5个物体。虽然心理学家在人类以外的动物上也发现了ANS的存在，但在噪音发展上人类与非人类间存在很大的不同：首先，ANS的噪音特性将持续人的终生，在30岁前ANS的敏锐度将逐渐提升；其次，在控制年龄这个变量后，研究者依然在同一年龄群体中发现了较大的ANS敏锐度差异。

    尽管ANS无法像精确数字系统那样准确地区分数字大小，大量的研究发现儿童学龄前的ANS敏锐度是预测其日后数学成绩的重要因素。

    儿童使用ANS估计事物数量的能力能有效预测其日后的数学能力。这一观点在正常儿童和计算障碍的儿童中都得到了证实，ANS敏锐度与其数学成绩间存在显著的正相关。事实上，ANS的敏锐度不仅是数学能力的独特预测因素，同时也能预测儿童在词汇表达、注意与记忆广度任务中的表现。约翰霍金斯大学的学者认为早期数学估算能力(numerical estimation skills)　在儿童数学学习中具有极其重要的意义。ANS更多地被视为与原始的“数感”相联系。后者代表了基本的数字能力　(numerical competence)，包括我们估算和在心里排列物体，很早就能在幼儿身上显现。科学家发现，大脑的顶叶很可能是执行这项技能的中枢指令官。

    与ANS不同的是，精确数字系统(exact number system)　为人类所独有，随着儿童学习使用数字词来表征数字概念而缓慢地发展。有研究发现，那些缺乏语言计数的社会群体也相应地缺乏大数概念，这意味着精确数字系统依赖于语言。由此可见，数字词的习得至关重要。

    数字词的习得是一场持久战

    当儿童达到5岁左右，他们能在ANS和表示数字的词间建立映射关系，此时他们不再需要计数就能用语言估算物体的数量。这种能力往往要在接受学校教育后才能逐渐获得。当儿童最终学会在两个系统间建立联系后，他们就能使用精确的数字来命名估算的数字，并就特定的精确数字词产生近似的表征。值得一提的是，人们建立映射关系的容易程度存在个体差异。换而言之，有些人做起来容易，另一些人则不然。

    然而即使是在数学教育较为发达的中国、美国和日本，年幼的儿童也要花费长达18个月乃至2年的时间来学习数字词的意义。数字词的习得堪称一场持久战，并非一蹴而就。以中国儿童为例，他们需要几年时间来学习最初的3、4个数字，历经多个相隔数月之久的学习阶段。在第一个阶段，一个2岁左右的儿童首先学会背诵包括部分数字的计数表，常常指着他们能够计数的事物。然而，虽然他们已经能够背出计数表，这时候的儿童还不理解数字词的数量表征意义。他们被划分为“一无所知的人”(non-knowers)。

    这个现象表明，儿童对计数程序的掌握早于其对计数内在逻辑的理解。在学习的最初，儿童对数字序列中下一个数字的理解是逐一进行的。在2岁后，儿童进入第二个阶段。此时他们掌握了数字“1”的真正意义，被称为“知道1的人”(1-knowers)。直到6至9个月后，他们才学会了“2”的意义，进一步成为“知道2的人”(2-knowers)，进而再慢慢地理解数字“3”、“4”的意义。在这个阶段，他们依然只习得了数字词的一小部分，因此是“知道子集的人”(subset-knowers)。然而，随着下一个阶段的到来，儿童对数字词的理解发生了翻天覆地的变化——他们开始意识到计数程序可以用以拓展他们所知道的数字，最后一个数字代表了这个数字集合的基数。这时候，他们已经脱胎换骨，蜕变为“知道基数原则的人”(CP-knowers)。

    语言会影响我们数数字

    已有的研究发现，那些所在语言中数字词单一对应的儿童，掌握数字词的意义比起数字词非单一对应的儿童要快。数字词单一对应的语言有英语和耳语，而非严格一一对应的典型代表为日语。对于数字词也缺乏严格对应关系的汉语普通话儿童，研究发现他们掌握数字词意义比英语儿童晚了3到6个月——可见语言在儿童的数字语义习得过程中发挥了一定的作用。

    随着全球化的加剧，越来越多的儿童成为双语乃至多语者。我们的下一代早早地开始学习第二语言，那么这会对儿童的数字词习得产生怎样的影响呢？

    大量的研究发现，学习第二语言决定了人们的认知功能(cognitive functioning)，包括认知控制、记忆加工，语言加工等。学习第二语言将改变人们加工语言信息的方式。西班牙心理学家Pedro Macizo等人的研究指出，第二语言的习得决定了双语者( bilinguals)的数字信息加工(processing of numerical information)，他们更倾向于以所接受的语言特征来加工数字，与该语言的母语者表现相似。在科学家看来，双语者似乎对两位数进行整体加工，这或许是源于其更大的工作记忆容量( WM capacities)。与单语者相比，双语者在数字认知上拥有一定的优势。

    对此，来自圣地亚哥大学的心理学家Katie Wagner等人持有不同的看法。他们的研究认为，掌握计数程序和其内在逻辑的过程，与所使用的语言相独立，因而对于双语乃至多语儿童而言，计数可以很快从一种语言迁移到另一种语言中。然而，在建立特定语言中的数字词与数字概念的联系时，语言的特异性将导致学习小数字词意义时所面临的困难。

    空间位置会影响数字认知

    在儿童的数字习得过程中，有这样一个有趣的现象：他们对呈现在左侧的小数字和右侧的大数字反应更快。这一现象甚至在成人中也有所体现。心理学家用“数字线”(number line)　这一概念来解释这个现象。个体心理内部存在一条表征数字的数字线(number line)，按照从小到大的顺序从右至左排列数字。

    基于此，心理学家们采用数字线任务考察儿童的数字知识、数学技能以及认知发展水平。在数字线任务中，儿童需要根据几个数字的相对大小在一条线上按照从小到大的顺序进行排列。他们在这个估算任务中的表现足以预测其数学成绩和对数字的记忆。儿童将数字在线段上准确排列的能力，将随着年龄发展不断提高，但提高程度受限于他们自身所熟悉的数字范围，特别是儿童对于口头数字系统　(verbal number system)　的了解程度。

    (蔡清为华东师范大学心理与认知科学学院副教授)