丘成桐给中学生的数学课：在探索数学奥秘的路上美和实用往往自然产生

教育




数学作为基础学科，对于人类认识世界、改变世界起着重要的

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 数学作为基础学科，对于人类认识世界、改变世界起着重要的作用，不论是相对论、量子力学的诞生，还是现代医学、人工智能的快速发展，数学都在其中起到重要作用。
 培养拔尖创新人才，数学教育的重要性更是不言而喻。近年来，知名数学家丘成桐投入大量时间和精力用于基础教育阶段的数学人才培养。日前，在上海数学与交叉学科研究院成立仪式上，丘成桐为来自全国多所中学的丘成桐班授牌，其中包括上海中学和民办华育中学。在授牌仪式上，他为中学生讲授了一堂特别的数学课。本期刊发部分讲课内容，以飨读者。
 数学是一门美丽且实用的科学，自诞生以来，就让所有数学家心驰神往。美丽而实用的数学，在自然界中自然而然地产生，这本身就非常奇妙。更奇妙的是，人们往往追求的是数学的实用价值，但却在这个过程中发现了数学之美。对数学家而言，在探索数学奥秘的路上，美和实用往往会自然产生，这是非常有趣的经历。
 其实，每个学者对美都有不同的见解。清华大学求真书院曾邀请美术学院刘巨德教授作讲座，讲述艺术家眼中的美。在这里，我也为大家讲一讲数学家和科学家眼中的美。
 没有一个学科像数学那样经得起时间考验
 在我看来，世界上的美，必须以真理为基础，这才称得上“美”。刘教授说，美是划时代、超越时空的。然而，超越时空、唯一能够存在的只有真理。坦白说，我认为真理其实只有一个——那就是数学。没有一个学科能像数学一样，对世界的描述经得起时间考验。从古希腊学者到牛顿、爱因斯坦等科学家，再一直到今天，人类对世界的观察以及据此形成的理论，不停地在变化；在实验室中，随着技术不断发展、精益求精，我们对物质世界的观察也不断得出新的结果，以往的结论不断被推翻。
 相对论和量子力学，使得20世纪的科学家产生了不同的观点，它们改变了古典的物理学，使我们对宇宙有了更深一层的了解。无论是极小质子的结构，或者是遥远的太空，我们现在能够观测到的现象都是前人难以想象的，因此从某种意义上说，物理学的真理在不停地改变。
 在这一连串宏伟的科学发展中，数学家做出了巨大的贡献。在很多重要的基础物理学的发展场合中，往往是数学家靠前，带领着物理学家向前走，然后群策群力地去了解宇宙。
 让我们回顾科学界中一个极为重要的发展：牛顿的伟大贡献之一是发展了微积分在物理学上的重要应用，从而引起了数学本身的革命。19世纪初，数学家高斯和黎曼为了深入了解电磁，发展了一套数学理论，这套理论最后由麦克斯韦完成，由此建立了完美的麦克斯韦方程组。在20世纪初，德国数学家、物理学家外尔又通过几何的方法来研究麦克斯韦方程，使它们成为他提出的规范场的一部分，外尔也是第一个提出规范原理的数学家，这些观念成为现代科学的基础。我们也知道，1926年，法国几何学家嘉当发展了联络理论，也就是今天的非交换规范场论。
 此后，大量的数学家，包括中国数学家陈省身先生在内，都从事非交换规范场的研究。古典的规范场可以说全部是由几何学家完成的。但是规范场在物理学上的量化工作，要等到20世纪60年代才由几位大物理学家完成；到70年代，理论物理的标准模型成为基础科学中最重要的工作。在上述工作中，都用到了极为深奥的数学理论。这些理论，其实已非当年的物理学家所能吸收。
 物理学家对真理的了解不停在改变，但其中运用到的数学理论，其正确性从来没有被人质疑过。因为它们的基础是一些难以质疑的假设，这些假设是最简单的逻辑系统，这些系统也是人类一切文明的基础。
 大道至简，是对数学之美的归纳
 数学家用严格的逻辑系统建设了不同的数学系统来描述大自然，从中看到统领大自然的规律。在这个过程中，我们看到大自然如何建立起自己的结构，它瑰丽壮观，万物难以比拟。
 大道至简，是对数学之美的归纳。最简单的数学，从1=1开始，到1+1=2，1+2=3……不停推导下去。人通过这种方式，认识到自然数，从而有了数学。人类从数学诞生之初，从计算牲畜、税收时开始，就认识到这些抽象概念是对事物精妙地归纳和总结。这与美有着密切的关系。数学把现实抽象为真理，而美建立于真理之上。同时，美引导着人类不断发现真理。没有对美的追求，人类很难察觉真理的存在。数学的发展，就是有赖于人类对美的追求，感知真理并找到真理之所在。
 举一个直观的例子。不少画家喜欢画竹子，因为竹子优雅、坚韧、颇有风骨，折射了中国知识分子精神层面的追求。画家描摹竹子的风骨，有很多方式。而对于数学家来讲，他们第一眼看到竹子，看到的是一条直线，他们也和画家一样，会为这条直线增加许多内容。
 比如，直线的构造，对于数学家来讲,就是一件饶有趣味的事情。在这条直线上，我们首先标注自然数，即整数，从1、2、3开始，这是基本的数学结构；接着，为了丰富它的构造，我们又构造了分数，比如1/2、3/4等等，密密麻麻地画在这条直线上。
 下一步怎么办？希腊人构造了无理数。他们用垂直的线构造两边长为1的三角形，斜边的长度为√2——这就是希腊毕达哥拉斯学派的发现。√2就是无理数。在成功构造了无理数之后，我们在直线上又增加了一大类数字，直线上的数字更密了一些。但这还不够，我们开始用圆规和直尺构造数字，但无论如何，还是没能填满这条直线。
 差不多又过了1500多年，我们才完全把直线填满，把这条竹子变成一条完备的实线。为了达到这个目标，数学家花了很多功夫，才终于对直线有了透彻的了解。这就好像画家费笔墨描摹竹子的意蕴，数学家也用了不少抽象的数的概念构造直线。
 15世纪时，数学家开始为这根直线引入了虚数，这将我们的关注从一条直线变成二维空间——认知二维空间是人类历史上一件非常重要的事。虚数产生以后，我们对很多波动方程、波动的种种现象的了解都清楚不少。
 画家笔下的波，其实也跟虚数有密切关系。但是，目前我们还无法将富有活动力的波生动地画出来，这是因为我们对虚数的了解不够清楚。虚数是研究动力系统最重要的数字，也是研究量子力学所要用到的。
 从引入正整数如1、2、3等，发展到一条直线，到虚数、到完满地解释二维空间，再到三维空间——这个过程其实是通过数学的发展，慢慢地逐步完成的。而这一路有条理地推进，除了数学严格地推理之外，还有数学家对美的追求。数学家希望达到的目标是：人看到的现象、眼中的世界，应该尽量完备。如果存在一些尚无法描述的空间，那就不够理想，必须要加以更透彻的理解才行，这就要从数学角度绘制一个完美的图像。在数学家眼中，这个图像犹如一幅图画。从整数的点加上去变成一条直线——这令人满意。但是仅仅如此还不够，加上虚数，就可以描述二维空间；二维空间还是不够，于是就一路加上去……
 数学家依靠美的指引，寻找数学真理 
 有人会说，竹子明明不是一条线，为什么数学家这么笨，将它看作是一条线。这说得很正确，竹子的表面是一个圆柱，直线不过是描述竹子特征的第一步，这一步并不完全符合物理现象。
 我们继续描述竹子。找一个固定半径的小圆圈，它和直线垂直，圆心沿着直线拉出去，就可以得到我们期待的圆柱。而描述这个圆柱最佳的数学方法是复数。加上复数的结构后，圆柱在数学上叫做黎曼面。黎曼面在描述二维空间及在现代物理学中的应用广泛，实在威力无穷。
 当上述小圆圈的半径变得很小时，圆柱就是一条直线，这是高维空间能够用来描述低维度的现实界的一种方法。圆圈的半径随着圆心的位置变动时，圆柱可以变成竹节。
 几何学家看竹子，可以用上述的观点。但是西方科学革命的领导人伽利略大概不会这样看，因为他会研究竹子的种种物理性质，例如弹性、结构性等问题。这些问题到牛顿力学和微积分出现后，得到了更完美的解决，数学家如费马、欧拉、拉格朗日等一直参与其中。
 近代物理学中，我们可以将直线用三维或者四维的平坦空间来代替，而圆圈可以用更复杂的几何体来代替。一个重要的几何体就是卡拉比-丘（Calabi-Yau）空间，从中可以描述种种不同的物理现象。
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 卡拉比-丘（Calabi-Yau）空间示意图
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 所以说，数学家看一根翠竹与画家或艺术家是不同的。数学家会有条有理地通过推理不断加深理解，之后再描述它。现在，我们推理到三维空间，还是觉得不够。在19世纪，开始了四元数的发现。不久后，更发现了八元数，因而进入高维空间。高维空间能够表现生活中的更多现象。高维空间是一个重要的问题，有几十、几千、几万个粒子滚动时，就形成了高维空间，而现在人工智能要到几千万维空间。高维空间里的种种现象都很美，这里头有很多真理，即数学的存在。
 这就是数学家眼中的世界，以及数学家对美的追求。面对眼前的万千世界，以及如此多的无法把握的现象，我们依靠美的指引，寻找其中的数学真理。从一根竹子引出一条直线、到二维空间，逐渐进入高维世界，连结起来，不断丰富，发展出这个重要的学科。这其中饱含了数学的精神，从简到繁，再用一个简单的道理描述大自然最复杂的现象，最终无限靠近真理。
 无论是古希腊还是文艺复兴时代，这个精神一以贯之。文艺复兴时期的绘画艺术就与数学密不可分，从而促发了几何的发展——这也说明了美与数学从来都是密不可分的。
 现代数学为人工智能奠定理论基础
 数学在现代科技中有众多应用。比如，几何学家对于如何有效地将曲面美的特征表现出来的处理；素数的分布，椭圆曲线上整数解的美丽理论，成为近代保密系统极为重要的工具；波的有效描述，傅立叶变换产生的位置和动量对偶，对于现代科学，甚至计算科学，产生了基本上的变化。
 拿几何学而言，不仅有令人着迷的理论，在现代工程实践中发挥着巨大作用。
 现代科技需要大量薄膜学的知识，因此如何精准描绘二维曲面是工程学不可缺少的学问。二维曲面的研究可以追溯到伟大的科学家欧拉，他与牛顿身处同一时代，用微积分来解释几何学，创造了变分法来计算一些重要的几何图形。黎曼和他的老师高斯毫无疑问是现代几何学的两位奠基人。高斯是现代几何学的先父，而真正的创始人是黎曼，在19世纪中期提出了黎曼几何和共形几何理论，不仅在理论物理中起到关键的作用，还在计算机图形学、几何建模、医学图像得到广泛应用。
 我和我的学生顾险峰用黎曼曲面的方法发展出来的理论，以后发展成为图像学中重要的分支——计算共形几何。
 计算共形几何数学方面的核心脉络是证明单值化定理解的存在性、唯一性、正则性、适定性，特别是如何推广到离散曲面；计算机科学方面的核心是如何设计算法，计算出单值化定理。在计算机中，将光滑曲面用离散曲面来表示，将现代拓扑和微分几何中的理论推广到离散情形，用计算机去实现抽象的几何理念，可以得到很好的工程实践。
 共形几何是研究共形变换下不变量的学问。所谓共形映射就是保持角度不变的映射。例如，我们将三维人脸曲面映射到二维平面圆盘，在人脸上随意画上两条相交的曲线，曲面上的曲线被映射到平面曲线，但是相交角度不变。由于保角变换具有唯一性，因此很容易去做人脸比对。
 当前，人工智能和数据科学的技术已被广泛应用于临床诊断、手术指导、风险预测等不同领域。可以说，现代数学为人工智能奠定了理论基础，且为人工智能突破瓶颈指明了发展方向。另一方面，人工智能也为数学提出了挑战，推动了数学的发展。
 盘点20世纪科技的重大变革，其基础在于人类对于物质结构的深入了解。相对论和量子力学是这些学问的基础，数学家对这些学问都有深入的贡献。自从20世纪70年代高能物理学的标准模型建设成功，统一了物理学三个不同的场以后，物理学家的最大愿望是如何将引力放在标准模型中。这个融合需要极有创意的观念的突破，我相信它对我们期待的科技突破——量子计算，会有深度的影响。如何构造量子几何学，将会是一个重要的里程碑，也是真和美的结合。
 万物之散聚兴灭，天地宇宙之结构，人事社会经济之脉络，莫不与基础数学有关。数学能够提供真和美，中华五千年要求的善，孔孟所说的仁和义，都可以在真和美中寻找，也就是说，可从数学学海中呼之而出。所以基础数学，是立国的基本，东西文化的桥梁。中华文化能够传承下去，千万年不衰，不能不注重基础数学。
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 文：丘成桐（清华大学求真书院院长、菲尔兹奖首位华人得主。本文为丘成桐教授8月17日在上海数学与交叉学科研究院的演讲，部分内容来自《数理人文》。作者授权刊登，未经许可，不得转载。） 
 图：题图来自视觉中国，文中图片由丘成桐提供 
 编辑：储舒婷 
 责任编辑：姜澎
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丘成桐给中学生的数学课：在探索数学奥秘的路上美和实用往往自然产生

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